Además de servir para desarrollar tu cerebro, la Geometría Analítica resuelve dos problemas fundamentales:
1. La gráfica de una ecuación.
2. La obtención de una ecuación a partir de una serie de datos.
Graficar una ecuación en la mayoría de los casos es sencillo, solo basta darle valores arbitrarios (los que tú quieras) a una letra llamada técnicamente VARIABLE INDEPENDIENTE y obtener con ello los valores de otra letra llamada VARIABLE DEPENDIENTE.
Por ejemplo: Graficar la ecuación Y = X + 1.
En este caso X se llama VARIABLE INDEPENDIENTE e Y se denomina VARIABLE DEPENDIENTE.
Démosle cuatro valores a la X por ejemplo 0, 1, 2 y -1.
Si X = 1 entonces al quitar la X y poner su valor en la ecuación queda:
Y = 1 + 1 = 2 por lo tanto: si X=1, Y=2 ¿difícil?
Continuemos…
Si X = 2 entonces: Y = 2 + 1 = 3 por lo tanto si X=2, Y=3
Continuemos…
Si X es igual a 0 entonces: Y = 0 + 1 = 1
Si X = -1 entonces: Y = -1 + 1 = 0
¿Y todo esto para que sirve?
Por el momento sirve para colocarlos en una cruz dividida en partes iguales llamada SISTEMA COORDENADO CARTESIANO.
El par de valores (X, Y) se llaman COORDENADAS de un punto. Por costumbre el primer número dentro del paréntesis corresponde a la X y el segundo a la Y, para el caso: Y=X+1, el conjunto de coordenadas (o pares de valores) serían (-1,0), (0,1), (1,2) y (2,3). Observa que al unir todos estos puntos se forma una recta.
A manera de ejercicio obtén la grafica de las siguientes ecuaciones y en otro tema veremos que podemos hacer con todo esto que estás haciendo.
Nota. Puedes dibujar un solo Sistema Coordenado Cartesiano y ahí colocar los puntos que obtengas para cada ecuación, o bien (mejor) un sistema coordenado para cada caso. Luego que coloques los puntos únelos y verás que hay algo común en todos ellos.
Ejercicios.
Y=X+3Y=X-2Y=2XY=3X-1Y=2X+XY=-X+1Y=-3X-2Y=2X/3Y=-2X-X+1Y=(X/2)+1
Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.
La primera definición de sección cónica aparece en Grecia, cerca del año 350 (Menæchmus) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».[1] Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; varias de estas definiciones provienen de la geometría proyectiva en el plano.
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azul)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo
formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² <>
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Eje mayor, AA´
Eje menor, BB´
Distancia focal, OF
La elipse tiene la siguiente expresión algebraica:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Vértices, A y A
Distancia entre los vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es:
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
Eje, e
Vértice, V
Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguinte ecuación:
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de la gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.
Aplicaciones
Muchas gracias! Me estaba costando un poquito esta materia, y me faltaba algo de motivación, pero con las aplicaciones para esta geometría la encontré :D
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